Question

求正整数k的值，使对任意实数x,代数式3x^2+2x+2/x^2+x+1的值恒大于k.

解答详细

Answer 1

(3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)>K
又因x^2+x+1恒大于0
所以3x^2+2x+2>k*(x^2+x+1)
即（3-k)x^2+(2-k)x+2-k>0恒成立
故3-k>0,k<3,且△<0
即△=(2-k)^2-4(3-k)(2-k)
=(2-k)(3k-10)<0
(k-2)(3k-10)>0
解得k<2或k>10/3,
所以k<2
因为k为正整数
所以k=1

Answer 2

y=(3x²+2x+2)/(x²+x+1)
yx²+yx+y=3x²+2x+2
(y-3)x²+(y-2)x+(y-2)=0
x是实数，所以方程有解
所以判别式大于等于0
y²-4y+4-4y²+20y-24>=0
3y²-16y+20<=0
(3y-10)(y-2)<=0
2<=y<=10/3

即(3x²+2x+2)/(x²+x+1)最小是2
(3x²+2x+2)/(x²+x+1)>k
k是正整数
所以k=1