Question

平面直角坐标系内，动点P（a,b)到直线L1：y=(1/2)x,和L2：y=-2x的距离之和是4.则根号下（a^2+b^2)的最小值

Answer 1

解：L1:x-2y=0.L2:2x+y=0.===>d1=|a-2b|/√5,d2=|2a+b|/√5.d1+d2=4.===>|a-2b|+|2a+b|=4√5.由柯西不等式可知，（1+1)[(a-2b)²+(2a+b)²]≥(|a-2b|+|2a+b|)²=80.===>(a-2b)²+(2a+b)²≥40.===>5(a²+b²)≥40.===>a²+b²≥8.===>√(a²+b²)≥2√2.故[√(a²+b²)]min=2√2.

Answer 2

L1:y=x/2→x-2y=0
L2:y=-2x→2x+y=0
d1=|a-2b|/√5
d2=|2a+b|/√5

a²+b²=d1²+d2²
d1=d2时a²+b²最小
|a-2b|=2√5
|2a+b|=2√5
a²+b²=4

min√(a²+b²)=2

Answer 3

作一下图,易知那两条直线是垂直的.而题目所要求的等价于求点P到原点的距离的最小值.设该点到两条直线的距离分别为m n在图上就会发现a^2+b^2=m^2+n^2利用均值不等式可知当m=n时有最小因为m+n=4.则n=m=2最小为二又根号二

Answer 4

L1:y=x/2→x-2y=0
L2:y=-2x→2x+y=0
d1=|a-2b|/√5
d2=|2a+b|/√5