Question

已知函数f(x)=x^3+mx^2-m^2x+1(m为常数,且m>0有极大值9。（1）求m的值。

（2）若斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直线方程。

Answer 1

（1）f(x)=x^3+mx^2-m^2x+1(m为常数,且m>0有极大值9)
导数=3x^2+2mx-m^2=(3x-m)(x+m)
所以令导数>0得 x<-m或x>m/3
所以在x=-m取到极大值
所以f(-m)=-m^3+m*m^2-m^2(-m)+1=9
m^3=8
所以m=2

(2) f(x)=x^3+2x^2-4x+1
导数=3x^2+2mx-m^2=3x^2+4x-4
斜率为-5的直线是曲线y=f(x)的切线，
3x^2+4x-4=-5
3x^2+4x+1=0
(3x+1)(x+1)=0
得x=-1或-1/3
f(-1)=0
所以直线为y=-5(x+1)

f(-1/3)=（自己算）
所以直线方程是、、、、、

Answer 2

楼上的做错了吧。。。
解得x=-1或-1/3
∴直线与曲线的切点是(-1,6)或(-1/3,68/27)
∴切线方程为135x+27y-23=0和5x+y-1=0