Question

几道高中数学题(求过程)

1.求证,三角形三边上的高交于一点.

2.求证,三角形三边上的中线相交于一点,且这个交点是所在中线的一个三等分点.

3.在三角形ABC中,G为重心,I为内心,若AB=6,BC=5,CA=4,求GI/BC

Answer 1

1. 证明：

设△ABC，高AD、BE交于H，连CH交AB于F
∵AD⊥BC， BE⊥AC
∴C、D、H、E四点共圆，A、B、D、E四点共圆
∠ABE=∠ADE=∠ACF
而∠ABE+∠BAE=90º
∴∠ACF+∠BAE=90º
∴CF⊥AB
即△ABC三边上的高AD、BE、CF交于一点

证毕

2. 证明：

设在△ABC中，D为AC中点，E为AB中点，连结BD、CE，相交于点O，连结AO并延长交BC于点M，分别过点O、点A作BC的垂线段，垂足为H1、H2，连结DE、DM
∵D、E为AC、AB中点
∴DE‖BC，且DE＝1/2BC
∴BO：OD=CO：OE=BC：DE＝2：1
∵D为AC中点
∴△BCD的面积=1/2△ABC的面积
∵BO：BD＝2：3
∴△BOC的面积＝2/3△BCD的面积＝1/3△ABC的面积
∵△BOC与△ABC同底
∴OH1=1/3AH2
∴OM：AO=OH1：AH2=1：3
∴AO：OM=2：1= BO：OD
∴DM‖AB
∵D为AC中点
∴M是BC中点
∴AM为边BC的中线
∴△ABC的三条中线交于一点O，且O是所在中线的一个三等分点

证毕

3. 建议用向量法

为方便书写，以下向量均用[]表示
重心有以下性质：
设P是△ABC所在平面内任一点，G是△ABC的重心，则[PG]=(1/3)([PA]+[PB]+[PC])
内心有如下性质：
设I是△ABC的内心，则a[IA]+b[IB]+c[IC]=[0]
（以上证明过程略，需要的话hi我）

回到本题
任取△ABC所在平面内一点作为坐标原点建立直角坐标系，则
[OG]=([OA]+[OB]+[OC])/3
a[IA]+b[IB]+c[IC]=[0]

又[IA]=[OA]-[OI], [IB]=[OB]-[OI], [IA]=[OB]-[OI]
∴a([OA]-[OI])+b([OB]-[OI])+c([OC]-[OI])=[0]
∴a[OA]+b[OB]+c[OC]=(a+b+c)[OI]

∴[OI]=(a[OA]+b[OB]+c[OC])/(a+b+c)
=(5[OA]+4[OB]+6[OC])/15
∴[GI]=[OI]-[OG]=(5[OA]+4[OB]+6[OC])/15-([OA]+[OB]+[OC])/3
=([OC]-[OB])/15=[BC]/15

∴[GI]‖[BC]
且|GI|=|BC|/15
即GI/BC=1/15

Answer 2

我告诉你思路吧
解题过程用电脑很难说清，尤其是图画画不出的情况

第一题：先做两条高，过交点和另一个点连线，通过角度的关系可以证明这条线是垂直另一条边的，即高线。

第二题：先做两条中线，交点和顶点连线交于另一边，做条已知两中线的中位线，通过面积的关系可以得出另一条也是中线，同理，用面积的关系也可以推算出是3等分点

第三题：重心是中线交点，内心是角平分线交点，大概很长时间没做高中几何题了，想不到好方法了。这题用坐标的方法可以搞定，建立一个坐标系找出坐标算长度。