Question

关于正弦函数的高一数学题

设函数f(x)=2sin(2x+π\6)+m+1(x∈R)
（1）试求出f(x)在〔0，π〕上的单调增区间
（2）若x∈〔0，π\2〕,是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为〔1\2,7\2〕?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

1、x∈〔0，π〕
所以2x+π\6∈〔π\6，13π/6〕
sinx在〔-π/2，π/2〕递增，所以
2x+π\6在〔6π/，π/2〕递增
所以f(x)在〔0，π/6〕递增

2、假设存在
函数f(x)的值域恰为〔1\2,7\2〕
2sin(2x+π\6)的范围为〔-2,2〕
所以-2+m+1=1/2，解得m=3/2
把m=3/2带入2+m+1=7/2检验
经检验，不成立
所以不存在这样的m

Answer 2

单调增区间：〔0，π/12〕U〔7π/12，π〕
m=1/2
解：2sin2x在〔0，π〕上的单调增区间
为：〔0，π/4〕U〔3π/4，π〕，则2sin(2x+π\6)则将图像向左平移π\6，则可以求出单调增区间
根据定义域，f(x)在〔0，π\2〕上的值域为〔-1+m+1，3+m+1],所以m=1/2

Answer 3

f(x)=2sin(2x+π/6)+m+1

记t=2x+π/6，t∈[π/6,2π+π/6]
f(t)=2sin(t)+m+1
f(t)的单调递增区间为：
t∈[π/6,π/2]或t∈[3π/2,2π+π/6]

此时：
x∈[0,π/6]或x∈[2π/3,π]

即所求。