Question

高一数学 数列

已知数列{an}满足a1=p,a2=p-41,a(n+2)-2a(n+1)+an=n-20,其中p是给定的实数，n是正整数，bn=a(n+1)-an

1 求数列bn的通项公式
2 试求n的值，使得an的值最小

Answer 1

1问：
a(n+2)-2a(n+1)+an=n-20
a(n+2)-a(n+1)-[a(n+1)-an]=n-20
b(n+1)-bn=n-20
bn-b(n-1)=(n-1)-20
...
...
b3-b2=2-20
b2-b1=1-20

b(n+1)-b1=1+2+…+n-20n
b(n+1)-b1=(1+n)n/2-20n
b1=a2-a1=-41
b(n+1)=(1+n)n/2-20n-41
b(n+1)=(n+2)(n-41)/2
则bn=(n+1)(n-42)/2

2问：
bn=a(n+1)-an
所以bn是an数列后项与前项的差值，该值为负则an递减，为正则递增
因为bn=(n+1)(n-42)/2
当n<42时，bn为负数，当n>42时，bn为正数
所以an是先减小后增大，当n=42时，为最小

Answer 2

因为a(n+2)-2a(n+1)+an=n-20所以[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=n-20所以b(n+1)-bn=n-20.......b2-b1=1-20，再用叠加法就可以求出bn。由于我用手机回答，就不再写了，还望理解。又因为bn=a(n+1)-an，因为已求出bn，在利用叠加法便可求出an。再对an进行求导便可求出极值和n。