Question

已知a、b是正整数，求证：(a＋b,a²－ab＋b²）等于1或等于3。

（a＋b,a²－ab＋b²）表示（a＋b）与（a²－ab＋b²）的最大公因数。

Answer 1

楼主漏掉了a,b互质的条件。

因为(a,b)=1，所以
(a+b,a)=1, (a+b,b)=1
(a+b,ab)=1

而(a+b,a^2-ab+b^2)=(a+b,a^2-ab+b^2-(a+b)^2)
=(a+b,-3ab)
=(a+b, 3)
=1或3.

Answer 2

题目错误或少条件，举反例如下：
a,b为4的倍数时，设a=4m,b=4n
a+b=4(m+n)
a^2-ab+b^2=16m^2-16mn+16n^2=16(m^2-mn+n^2)
有公因数4.