Question

广义积分问题

如图，请详细解答

Answer 1

1. 令t=1-x，则x=1-t
∫{x=0-->1}x^m(1-x)^ndx
=∫{t=1-->0}(1-t)^mt^nd(1-t)
=-∫{t=1-->0}(1-t)^mt^ndt
=∫{t=0-->1}t^n(1-t)^mdt
=∫{x=0-->1}x^n(1-x)^mdx

2.需要注意对任意正整数n，lim{x-->+∞}x^n/e^x=0，这一点题目中会用到。
记I[n]=∫{x=0-->+∞}x^ne^(-x)dx，则
I[n]=-∫{x=0-->+∞}x^nd(e^-x)
=-x^ne^(-x)|{x=0，+∞}+∫{x=0-->+∞}e^(-x)d(x^n)
=0+n∫{x=0-->+∞}e^(-x)x^(n-1)dx
=nI[n-1]
我们利用递推关系得I[n]=nI[n-1]=n(n-1)I[n-2]=...=n!I[1]
容易得到I[1]=1，于是I[n]=n!

3.右端通过分部积分可求出=(2c-1)e^(2c)/4，从这里可以看出c≠0.否则左右不相等。
左端=lim{x-->+∞}[1+2c/(x-c)]^{[(x-c)/(2c)]*2cx/(x-c)}
利用基本极限lim{t-->0}(1+t)^(1/t)=e，可知上式极限为：e^(2c)

于是我们有：e^(2c)=(2c-1)e^(2c)/4，可得c=5/2.