Question

关于广义积分的一个问题

为什么对1/x从a到正无穷的广义积分，值为无穷，按照积分的定义理解，那个从a到无穷的面积应该为有限值啊（类比正态分布的曲线），可是面积为无穷，该怎样理解。

Answer 1

∫ [a, b] 1/x dx = ln b - ln a，a > 0.
代表了曲线 y = 1/x 在 x ∈ [a, b] 与 x轴围成的区域面积. 在当 b -> ∞ 的时候，这个值是无穷，发散的. 积分值就是面积，你说这个面积为有限值是错误的，只是你看上去觉得它应该是有限值. 正态分布曲线面积为有限值，那是因为正态分布函数的无穷积分是收敛的. “看上去”是不可靠的，举个例子：
1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n + .....
这个和式是个有限值吗？随着所加的项越来越小，“看上去”应该是个有限值。实际上，这个是调和数列求和，非常典型的一个例子，和是无穷。

Answer 2

类似于无穷多个趋近于0的数相加结果不等于一样，不能仅仅根据函数在趋近于无穷大时的函数值去判断广义积分是否收敛。