Question

关于广义积分的问题

求助

Answer 1

首先换元，令t=x-1，把被积函数换为(t^2+2t+1)*e^{-t^2}*e，积分限为0到正无穷。
2t*e^{-t^2}这项的积分比较简单，等于1。比较难的是求t^2*e^{-t^2}的积分。

令f(a)=\int_0^{\infty} t^{a} * e^{-t^2} dt，
即是令一般的t^a乘以e^{-t^2}从0到无穷大的积分记作f(a)。
通过分部积分可以得到
f(a)=f(a+2)*2/(a+1)。
已知f(0)，所以f(2)=1/2*f(0)=sqrt(pi)/4。

综上，所求积分等于e*[1+3/4*sqrt(pi)]。