设等差数列{an}的前n项和为Sn,且对任意n属于N+,有n,an,Sn成等差数列
(1)求数列{an}的通项公式(2)求数列{nan}的前n项和Tn纠正一下,题目打错了,{an}题目没说是等差数列...
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求数列{nan}的前n项和Tn
纠正一下,题目打错了,{an}题目没说是等差数列 展开
(2)求数列{nan}的前n项和Tn
纠正一下,题目打错了,{an}题目没说是等差数列 展开
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(1)有n,an,Sn成等差数列
Sn-an=an-n
Sn=2an-n
当n=1时,a1=2a1-1,a1=1
n=n-1时,S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)+1
an+1=2[a(n-1)+1]
故{an+1}为等差比列,q=2
an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n
an=2^n-1
(2)
设bn=n*an=n*2^n-n
Tn=1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1)-(1+2+3+……+n)
2Tn=0+1*2+2*2^2+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n-2*(1+2+3+……+n)
第一式减去第二式:
-Tn=1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1)-n*2^n+(1+2+3+……+n)=(1-n)*2^n+n(n+1)/2
Tn=(n-1)*2^n-n(n+1)/2
Sn-an=an-n
Sn=2an-n
当n=1时,a1=2a1-1,a1=1
n=n-1时,S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)+1
an+1=2[a(n-1)+1]
故{an+1}为等差比列,q=2
an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n
an=2^n-1
(2)
设bn=n*an=n*2^n-n
Tn=1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1)-(1+2+3+……+n)
2Tn=0+1*2+2*2^2+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n-2*(1+2+3+……+n)
第一式减去第二式:
-Tn=1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1)-n*2^n+(1+2+3+……+n)=(1-n)*2^n+n(n+1)/2
Tn=(n-1)*2^n-n(n+1)/2
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(1)取n=1,则1+S(1)=2a(1),即1+a(1)=2a(1);
取n=2,则2+S(2)=2a(2),即2+a(1)+a(1)+d=2[a(1)+d]
解得a(1)=1,d=2
所以a(n)=2n-1;
(2)n×a(n)=n(2n-1)=2n^2-n
则T(n)=2(1^2+2^2+3^2+…+n^2)-(1+2+…+n)
=2×n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2 (平方数列和自然数列-常用求和数列)
=n(n+1)[(2n+1)/3-1/2]
=n(n+1)(4n-1)/6
题目打错了?晕啊~~~
改题目后答案如“yx208”所答。
取n=2,则2+S(2)=2a(2),即2+a(1)+a(1)+d=2[a(1)+d]
解得a(1)=1,d=2
所以a(n)=2n-1;
(2)n×a(n)=n(2n-1)=2n^2-n
则T(n)=2(1^2+2^2+3^2+…+n^2)-(1+2+…+n)
=2×n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2 (平方数列和自然数列-常用求和数列)
=n(n+1)[(2n+1)/3-1/2]
=n(n+1)(4n-1)/6
题目打错了?晕啊~~~
改题目后答案如“yx208”所答。
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