Question

高中数学不等式选讲题目

求证：

设ab都是非负实数，a³+b³≥√（ab）（a²+b²）

√代表根号。√后面第一个括号里面都是根号里面的。

Answer 1

有恒等式：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
由均值不等式，ab<=(a^2+b^2)/2
a+b>=2√(ab)
于是有(a+b)(a^2-ab+b^2)>=[2√(ab)][a^2+b^2-(a^2+b^2)/2]=[√(ab)](a^2+b^2)

即a^3+b^3>=[√(ab)](a^2+b^2)成立

Answer 2

a³+b³=(a+b)(a^2-ab+b^2)>=2√ab(a^2-ab+b^2)（1）
∵a^2+b^2>=2ab
∴-ab>=-(a^2+b^2)/2
a^2-ab+b^2>=a^2+b^2-(a^2+b^2)/2=1/2(a^2+b^2)
（1）>=2*1/2√ab(a^2+b^2)=√ab(a^2+b^2)

Answer 3

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)≥(ab)^(1/2)*2(a^2-ab+b^2)=(ab)^(1/2)*[(a^2+b^2)+(a-b)^2]≥√（ab）（a²+b²）