Question

如果A,B,(2A-1)/B,(2B-1)/A都是整数，并且A>1,B>1，试求A+2B的值

Answer 1

设 (2A-1)/B = k 是整数。则 A=(kB+1)/2.
将其代入 (2B-1)/A 得到 (2B-1)/A = (4B-2)/(kB+1) 也是整数。
容易看出，当 k>=4 时必有 4B-2<kB+1，此时 (2B-1)/A 不是整数。因此必有 k=1,2,3.

若 k=1，则 A=(B+1)/2，(2B-1)/A=(4B-2)/(B+1)=4-6/(B+1). 由 B>1，所以只有 B= 2 或 5 时 (2B-1)/A 才是整数。结合 A=(B+1)/2 是大于1的整数可知此时 B=5，A=3. (由对称性，A=5，B=3也是解)

若 k=2，则 (2B-1)/A=(4B-1)/(2B+1)=2-3/(2B+1). 由于 B>1，所以此时无解。

若 k=3，则 (2B-1)/A=(4B-1)/(3B+1)=1+(B-2)/(3B+1)。 由于 B-2<3B+1，所以此时只能有 B=2，但是 A=(3*2+1)/2 不是整数，所以此时也无解。

综上，A=3，B=5 或者 A=5，B=3. A+2B=13 或者 11.

Answer 2

（2A-1）/B=N，N=1、2、3…，A=（BN+1）/2，B、N均为奇数；
（2B-1）/A=M，M=1、2、3…，B=（AM+1）/2，A、M均为奇数；A=（2B-1）/M；
（BN+1）/2=（2B-1）/M，B=（M+2）/（4-MN），（M+2）≥（4-MN），M≥2/（N+1），（N+1）≤2，N只能=1；
M≥1；因MN＜4，所以M只能=3；得出B=5，A=3；A+2B=3+2*5=13。