Question

一道不等式题

设a1,a2,…an为正数，且a1a2…an=1，求证：
(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.
最后一个是3的n次方，其他的都是下标

Answer 1

就是平均值不等式。

2+a1=1+1+a1>=3(a_1)^(1/3)
2+a2=1+1+a2>=3(a_2)^(1/3)
...
2+an=1+1+an>=3(a_n)^(1/3)

把以上不等式相乘就可以了。

Answer 2

解：令n=1,有a1=1 代入不等式中有2+a1=2+1=3,不等式成立。
令n=2,有a1a2=1,不等式（2+a1）(2+a2)=4+2(a1+a2)+1>6,[a1+a2>a1a2]不等式成立。
假设(2+a1)(2+a2)...(2+an)>=3n成立，则
(2+a2)(2+a2)...(2+an)[2+a(n+1)]>=3n[2+a(n+1)]>6n=3n+3n>3n+3=3(n+1)
故假设成立。
所以所证明的不等式成立。