Question

数学高考题

已知函数F（x）是定义域位R的奇函数，且图像关于X=1对称
（1）求F（0）的值
（2）证明：函数F（x）是周期函数
（3）若F（x）=（0＜x≤1），求x∈R时，函数F(x)的解析式，并画出满足条件的函数F(x)至少一个周期的图像

Answer 1

解：
(1)因为是奇函数 又定义域为R 所以根据性质得F(0)=0(老师应该讲过这个结论的吧)
(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数
则f(x)=-f(-x)它的图像关于直线x＝1对称
则f(x)=f(2-x)
即f(-x)=f(2+x)=-f(x)
所以f(x)=-f(2+x)
所以f(x+2)=-f(2+x+2)=-f(x+4)=-f(x)
得到:f(x)=f(x+4)
故f(x)是以4周期的周期函数
(3)图象法:(T=4)
f(x)=x-4n,x∈(4n-1,4n+1)
4n+2-x,x∈(4n+1,4n+3)
x∈(-1,0),-x∈(0,1),
f(x)=-f(-x)=x x∈(-1,1)
所以：f(x)=x
图像:(略)

Answer 2

1、因为奇函数，且定义域为R，所以F（0）=0
2、因为关于x=1对称，所以F（1+x)=F(1-x)
因为奇函数，所以F(1-x)=-F(x-1)
所以F(1+x)=-F(x-1)=F(x-3) 即F(x)=F(x+4)
为周期函数，周期为4
3、F(x)=?