Question

高一数学集合题

一个二次函数满足f（0）=1且f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）。

详细解题过程

Answer 1

由于f(0)=1,令x=0，可得出f(1)=1。继续代入2、3、4、5……，会发现
f(1)=2*0+f(0)
f(2)=2*1+f(1)
f(3)=2*2+f(2)
……
f(x)=2*(x-1)+f(x-1）
把整个竖式加和，即f(1)+f(2)+f(3)……+f(x)=f(0)+f(1)+f(2)+……f(x-1)+2*(0+1+2+3+4……+x-1)
整理得f(x)=x^2-x+1

Answer 2

f(0+1)-f(0)=2*0
f(1)=1
f(0)=1
令f(x)=ax^2+bx+c
c=1
a+b=0

a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x
ax^2+2ax+a+bx+b-ax^2-bx=2x
2ax+a+b=2x
2ax=2x
a=1
b=-1
f(x)=x^2-x+1

Answer 3

令F(X)=ax^2+bx+c
f(0)=1可以推出c=1
令x=0有：f(1)-f(0)=0 得到f(1)=1
令x=-1有：f(0)-f(-1)=-2 得到f(-1)=3
所以有：f(1)=a+b+1=1
f(-1)=a-b+1=3 由两式解出：a=1;b=-1

故：f(x)=x^2-x+1

Answer 4

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=c=1
f（x+1）-f（x）=a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1
=2ax+a+b
2ax+a+b=2x
a=1 ,b=-1
f(x)=2x^2-x+1