Question

一道关于不等式的高中数学题

已知a,b,c为正实数。请用排序不等式证明：
a^12/(bc) +b^12/(ac)+ c^12/(ab)≥a^10+b^10+c^10

Answer 1

由轮换对称性，不妨设 a≥b≥c. 则有 1/(bc)≥1/(ac)≥1/(ab)，
以及 1/c≥1/b≥1/a，所以 a^12/(bc) +b^12/(ac)+ c^12/(ab) 为顺序和，由于顺序和不小于乱序和，因此有
a^12/(bc) + b^12/(ac) + c^12/(ab)
≥a^12/(ac) + b^12/(ab) + c^12/(bc)
=a^11/c + b^11/a + c^11/b (这是乱序和，其不小于反序和)
≥a^11/a + b^11/b + c^11/c
=a^10 + b^10 + c^10
原不等式成立。