Question

若A+C=2B，求证a+c<2b

kuai a
xiexie

Answer 1

因为 A+C=2B，所以 A+C=120度，B=60度。
由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，因此只要证明 sinA+sinC<2sinB.
由和差化积公式
sinA+sinC
=2sin(A+C)/2*cos(A-C)/2
=2sin60*cos(A-C)/2
=根号3*cos(A-C)/2 (cos(A-C)/2<=1)
<=根号3
=2sinB
因此有 sinA+sinC<=2sinB，a+c<=2b.
所证式的<应该改为<=. 当三角形ABC是正三角形时取得等号。

Answer 2

楼上的解答是错的,角B不可能是90度.由A+C=2B可知这3个角是成等差的!所以角B=60,再由余玄定理cos60=(a2+c2-b2)/2ac=1/2.变化可得a2+c2-ac=b2.再由均值不等式公式(a2+c2?2ac)[ac?(a+c)2/4]可得(a+c)2?4b2.所以两边开方可得a+c?2b

Answer 3

A+B+C=180°
A+C=2B
B=90°

a^2+c^2=b^2
(a+c)^2=a^2+c^2+2ac<=2(a^2+c^2)=2b^2
a+c<=√2b<2b

Answer 4

有图吗？