Question

关于同余的问题

要使下面这个同余式总成立，则正整数m应满足什么条件？或者直接证明2的999次方的最末两位数字是88也行（用同余，要过程）

Answer 1

因为b ≡-a(mod(a+b)，所以
a^m+b^m ≡0(mod(a+b))等价于
a^m+(-a)^m ≡0(mod(a+b))

显然要使上式恒成立，m是奇数即可。 当m是偶数时，上式变为：
2a^m ≡0(mod(a+b))
对于大于1的互质的整数a,b这个式子就不会成立。
所以当且仅当m是奇数时，a^m+b^m ≡ 0(mod(a+b))恒成立。

2^999≡0(mod4)
2^10=1024≡-1(mod25)
2^999=2^990*2^9≡(-1)^99*512≡13(mod25)

0~99之间被4整除，被25除余13的数只有88.

所以2^999≡88(mod100)

也就是2^999最后两位数是88.

⇔,∀,∂

Answer 2

m的奇数的时候
a^m+b^m==(-b)^m+b^m(mod(a+b))=-b^m+b^m(mod(a+b))
=0(mod(a+b))

m为偶数时
a^m+b^m==(-b)^m+b^m(mod (a+b））=2b^m(mod(a+b))
显然a,b互质是原是不成立

故原式只有m为奇数时恒成立

Answer 3

一楼说法：“m为偶数时
a^m+b^m==(-b)^m+b^m(mod (a+b））=2b^m(mod(a+b))
显然a +b是奇数时，原式不成立”
是错误的，比如a=6,b=3,m=2就是一个反例。