Question

设向量a=（1+cosα，sinα),b=(1-cosβ，sinβ),c=(1,0),a∈（0，π），β∈(π，2π

a与c的夹为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π/3，求sinα-β/4的值。

Answer 1

解一下:(向量我用大写字母表示)设向量的起点都在原点
因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinβ<0,又1+cosα>0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)

tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)

又θ1-θ2=π/3,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/3=(√3)
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]

所以cot[(α-β)/2]=-(√3)
cos[(α-β)/2]=-(√3)sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈（0，π），β∈(π，2π）得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]<0
于是sin[(α-β)/2]=-1/2
cos[(α-β)/2]=(√3) /2=1-2(sin[(α-β)/4])^2
sin[(α-β)/4]=(√2-√6)/2
打字好累,希望没有算错