Question

初二暑假作业

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q
探究：设A、P两点间的距离为x。当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由

Answer 1

1。过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形）
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ

⑵作PT⊥BC，T为垂足(如图5)，那么四边形PTCN为正方形，∴PT=CN=PN。
又∵∠PNQ=∠PTB=90°，PB=PQ

∴△PBT≌△PQN

∴S四边形PBCQ=S△PBT+S四边形PTCQ

= S四边形PTCQ+S△PQN=S四边形PTCN

⑶△PCQ可能成为等腰三角形。

点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时，x=0。

C的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形(如图6)。此时，∠CPQ=1/2∠PCN=22.5°，∠APB=90°-22.5°=67.5°，

∠ABP=180°-（45°+67.5°）-67.5°，

∴∠APB=∠ABP，∴∠AP=AV=1

∴x=1