Question

已知函数f(x)=根号(x^2+1)-ax,a>0

（1）若2f(x)=f(-1).求a的值 （2）证明，当且仅当a≥1时，函数f(x)在区间【0，正无穷】上为单调函数 详解

Answer 1

证明:设x1>x2≥0,则
f(x1)-f(x2)=√(x1^2+1)-ax1-√(x^2+1)+ax2
=(x1^2-x2^2)/[√(x1^12+1)+√(x2^2+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2){x1+x2-a[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
又x1>x2≥0,a≥1，即
x1-x2>0,x1<a√(x1^2+1),x2<a√(x2^2+1)
所以f(x1)-f(x2)<0
即当a≥1时,f（x）在[0,＋∞)上是减函数