Question

已知函数f(x)=-根号a/(a^x+根号a) (a>0,且a≠1)

证明：函数f(x)的图象关于（1/2，-1/2）对称
求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值

Answer 1

y=f(x)= -根号a/(a^x+根号a) (a>0,且a≠1);
要证明函数f(x)的图象关于（1/2，-1/2）对称，
变为只要证明：
如果 (x1+x2)/2=1/2; 或者 x2=1-x1 (1)
那么就有(y1+y2)/2=-1/2; y2=-y1-1 成立 (2)
这并不难：
y2=f(x2)=f(1-x1)= -根号a/[a^(1-x1)+根号a]
= -[(根号a)+a^(1-x1)-a^(1-x1)]/[a^(1-x1)+根号a]
=-1+a^(1-x1)/[a^(1-x1)+根号a]
=-1+根号a/[a^x1+根号a]
=-1-y1
问题得证。
求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值
可以利用以上对称性分成f(-2)+f(3)，f(-1)+f(2) ,还有
f(0)+f(1)三组来算。
我们已经证明了，如果(x1+x2)/2=1/2，那么(y1+y2)/2=-1/2;
或者x1+x2=1,那么y1+y2=f(x1)+f(x2)=-1;
所以有 ： f(-2)+f(3)=f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)=-1,
最后我们得到
f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)= -3