Question

在三角形abc中,∠abc的角平分线和∠acb的外交平分线交于d

∠d=40°是，∠a=？ ∠d=x°是，∠a=？

Answer 1

由图可得：∠ACE=∠A+∠ABC（三角形外角定理）
又 ∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D
故 ∠ACD=∠ACE/2=（∠A+∠ABC ）/2
=∠A/2+∠ABC/2
∠DBC=∠ABC/2
又 ∠DBC+∠DCB+∠D
=∠DBC+∠ACB+∠DCA+∠D
=∠ABC/2+∠ACB+∠A/2+∠ABC/2+∠D
=∠ABC+∠ACB+∠A/2+∠D=180°
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠ACB+∠A/2+∠D
整理得：∠A=2∠D。

当∠D=40°时，∠A=80°

当∠D=x°时，∠A=2x°

Answer 2

△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
（1）如图1，若∠A=70°，求∠E的度数；
（2）如图2，若∠A=90°，求∠E的度数；
（3）如图3，若∠A=130°，求∠E的度数；
根据上述结果，你能得到什么样的一般性结论？
考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：由△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，根据角平分线的性质，可得∠ECD=12∠ACD，∠EBC=12∠ABC，然后利用三角形外角的性质，即可求得：∠ECD=12∠ACD=12∠A+∠EBC，∠E=∠ECD-∠EBC，则可求得∠E=12∠A；则可将（1）∠A=70°，（2）∠A=90°，（3）∠A=130°分别代入求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=12∠ACD，∠EBC=12∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=12∠A+∠EBC-∠EBC=12∠A，
∵∠A=70°，
∴∠E=35°；
（2）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=12∠ACD，∠EBC=12∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=12∠A+∠EBC-∠EBC=12∠A，
∵∠A=90°，
∴∠E=45°；
（3）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=12∠ACD，∠EBC=12∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=12∠A+∠EBC-∠EBC=12∠A，
∵∠A=130°，
∴∠E=65°．
结论：∠E=12∠A．
理由：∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=12∠ACD，∠EBC=12∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=12∠A+∠EBC-∠EBC=12∠A．
点评：此题考查了三角形的外角的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解此题的关键是注意数形结合思想与整体思想的应用．

Answer 3

∠A=2∠D
所以第一个是80度
第二个是2x

解答：由三角形外角等于不相邻的两个内角和
所以有∠ACD=∠D+∠DBC ∠ACE=∠A+∠ABC
又由角平分线的性质，∠ABC=2∠DBC ∠ACE=2∠ACD
代入就能得到∠A=2∠D

Answer 4

∠D=∠DCE-∠DBE
=1/2∠ACE-1/2∠ABC
=1/2∠A

∴∠D=40时，A=80°
∴∠D=x时，A=2x

Answer 5

∠DBC+∠D=∠DCE(1);∠ACE=∠A+∠ABC(2);∵∠ACE=2∠DCE;∠ABC=2∠DBC,(1)×2代入（2）中得∠A=80°
第二题∠A=2X°