Question

一道关于函数单调性奇偶性的题

定义在R上的函数f（x）满足：1，对任意x，y属于R，有f（x+y）=f（x）+f（y）2，当x＞0时，f（x）＜0且f（1=-2 ） 求证：1。f（0）=0 2。判断函数f（x）的奇偶性 3。判断f（x）的单调性 4。解不等式f（x的平方-2x)-f（x）≥-8

Answer 1

解：1、令x=y=0，因为f（x+y）=f（x）+f（y）
故：f（0+0）=f（0）+f（0）
故：f（0）=0

2、令x+y=0，故：y=-x
因为f（x+y）=f（x）+f（y
故：f（0）=f（x）+f（-x）
故：f（x）+f（-x）= f（0）=0
故：f（x）=-f（-x）

又f（0）=0，即过原点（0，0），定义域为R
故：f（x）为奇函数

3、令y＞0，故：f（y）＜0
故：x+y＞x，f（x+y）-f（x）=f（y）＜0
故：f（x）在R上单调递减

4、因为f（1）=-2，故：f（4）= f（2）+ f（2）= f（1）+f（1）+f（1）+ f（1）=-8
故：f（x²-2x)-f（x）≥-8= f（4）
故：f（x²-2x) ≥f（x）+ f（4）= f（x +4）
因为f（x）在R上单调递减
故：x²-2x ≤x +4
故：(x-4)(x+1) ≤0
故：-1≤x≤4

Answer 2

（1） 令x=y =0, 带入到f（x+y）=f（x）+f（y）即可得证
(2) 令x = -y 带入到f（x+y）=f（x）+f（y）得到是奇函数
（3） 令x＞y 则 x-y > 0 ,f（x-y）=f（x)-f（y),因为当x＞0时，f(x）＜0 所以f（x-y）=f（x)-f（y）<0 所以判断f（x）为严格递减的函数.
(4) 首先-8等于f(4)=f(1+1+1+1)=4* f(1). 所以解不等式f（x的平方-2x)-f（x）≥-8 就转化为 左边 = f(x^2-2x-x) ≥f(4) 又因为是减函数，所以继续转化为求解 x^2-3x ≤ 4 这是一个一元二次不等式 很好解了 你就自己动手吧

Answer 3

1:f(x+y)=f(x)+f(y) f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) f(0)=0