Question

已知函数f(x)=㏒(1/2) [（根号2）sin(x-π／4)]

已知函数f(x)=㏒(1/2) [（根号2）sin(x-π／4)]
⑴求它的定义域、值域；
⑵判定它的奇偶性；
⑶判定它的单调区间及每一区间上的单调性，
请帮我解决一下，写出过程，谢谢！！

Answer 1

(1).由函数的性质得：√2sin(x-π／4)＞0
根据正弦函数的图像得其定义域为：2kπ＜x-π／4＜（2k+1）π
即定义域为：2kπ+π／4＜x＜（2k+1）π+π／4
由√2sin(x-π／4)的值域为（0，√2】
整个函数的值域为f(x)≥-1/2
（2）由f(-x)=㏒(1/2) [√2sin(-x-π／4)]=㏒(1/2) [√2sin(-x-π／4)]
=㏒(1/2) [√2sin(-x-π／4+2π)]=㏒(1/2) [√2sin(7π／4-x)
根据图像可得该函数为偶函数。验证：令x=π，则-x=-π，代入原式子可得结果。
（3）根据函数的图像可得单调区间如下：
2kπ+π／4＜x＜2kπ+3π／4，此时函数为单调减函数
2kπ+3π／4＜x＜（2k+1）π+π／4，此时函数为单调增函数
注：由于函数是以1/2为底，所以整个函数的增减形与√2sin(x-π／4)的增减性恰好相反。