Question

已知a>b>c>d,则[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)的最小值为

快点啊 谢谢了 最好有详细点的过程

Answer 1

用换元法。
a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d)，令 a-b=x，b-c=y，c-d=z，则 x,y,z 均为正实数。因此只要求 (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) 的最小值。
(1/x+1/y+1/z)(x+y+z) (展开)
=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y) (对三个小括号中的式子用均值不等式)
>=3+2+2+2
=9
因此原式的最小值为9。等号当且仅当 x=y=z，即 a-b=b-c=c-d 时取到。

Answer 2

[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)
>=3{1/[(a-b)(b-c)(c-d)]}^(1/3) *(a-d)
=3(a-d)/[(a-b)(b-c)(c-d)]^(1/3)
>=3(a-d)/{(1/3)[(a-b)+(b-c)+(c-d)]}
=9(a-d)/(a-d)
=9

最小值为9

Answer 3

令a-b=x,b-c=y,c-d=z（x，y，z均大于0）,那a-d=x+y+z
[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-d)]*(a-d)=
(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)
=(y+z)/x+(x+z)/y+(x+y)/z+3
=(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(z/y+y/z)+3
≥2+2+2+3=9
所求最小值是9 当且仅当 x=y=z时取最小