Question

已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+4/(c-a)≥0

已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+4/(c-a)≥0

Answer 1

证明:
(a-c)^2=(a-b+b-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2*(a-b)(b-c)
>=2*(a-b)(b-c)+2*(a-b)(b-c)
=4*(a-b)(b-c)
即(a-c)^2>=4*(a-b)(b-c)
又a>b>c
所以(a-c)/(a-b)(b-c)>=4/(a-c)
即(a-b+b-c)/(a-b)(b-c)>=4/(a-c)
所以1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c)
所以1/(a-b)+1/(b-c)+4/(c-a)>=0
证毕

Answer 2

已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+4/(c-a)≥0

1/(a-b)+1/(b-c)+4/(c-a)
=[(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+ 4(a-b)(b-c)]/[(a-b)(b-c)(c-a)]
因为a>b>c所以分母小于0
因此只要证明出分子(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+ 4(a-b)(b-c)小于等于0即可
(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+ 4(a-b)(b-c)
＝bc-ab-c^2+ac +ac-a^2-bc+ab +4(ab-ac-b^2+bc)
=