Question

为什么相似矩阵的特征多项式相同

Answer 1

因为矩阵A的特征多项式就是 f(x)=|xI-A|. 其中||是行列式，而I是与A同阶的单位阵。 现在设矩阵B与A相似，即存在同阶可逆矩阵T，使得 B=T^(-1)AT. 这里 T^(-1) 是矩阵T的逆。根据特征多项式的定义，B的特征多项式为
g(x)
=|xI-B|
=|xI-T^(-1)AT|
=|xT^(-1)T-T^(-1)AT|
=|T^(-1)||xI-A||T| (由|T^(-1)||T|=1)
=|xI-A|
=f(x)
即相似矩阵的特征多项式相同。