Question

已知数列{an}中,a1=5,且当n>1,n属于整数时,an=a1+a2+.....an-1

1，求{an}的通项公式
2，求证：1/a1+1/a2+1/a3.....+1/an<3/5

Answer 1

an=a1+a2+.....an-1
an-1=a1+a2+.....an-2
an-a(n-1)=an-1
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2
an=a1q^(n-1)=5*2^(n-1)

令s=1/a1+1/a2+1/a3.....+1/an
=1/5+1/10+1/20+....+1/5*2^(n-1)

s/2=1/10+1/20+1/40+....+1/5*2^(n-1)+1/5*2^(n-2)

s-s/2=1/5-1/5*2^(n-2)
s/2=1/5-1/5*2^(n-2)
s=2/5-1/5*2^(n-1)<2/5

Answer 2

当n>1时
an=a1+a2+.....an-1
两边同时加上 a1+a2+.....an-1 得到：
Sn=2Sn-1
S2=a2=5;
所以{ Sn }从第二项起以2为等比的等比数列
易得
Sn=5*2^(n-1)-5
所以
an=Sn-Sn-1=(5*2^(n-1)-5)-(5*2^(n-2)-5)=5*2^(n-2) (n>=2)
a1=5

2:
将通项带入 ，左边等于
1/5+1/5+1/(5*2)+1/(5*4)+1/(5*8)+.....
=(1/5)*(1+1+1/2+1/4+....1/2^(n-2))
=(1/5)*(3-1/2^(n-2))<3/5

楼上有误，看看a2 就知道了。楼上错在了忽略了an=a1+a2+.....an-1必须在n>1的情况下

Answer 3

第一题
an=a1+a2+.....an-1
an-1=a1+a2+.....+an-2

an=a1+a2+.....+an-2+an-1
=an-1+an-1=2an-1

an/an-1=2
即an是a1=5为首项以q=2为公比的等比数列
an=a1×q^(n-1)
=5×2^(n-1)
第二题
1/a1+1/a2+1/a3.....+1/an
=1/5(1/2+1/4+1/8+……+1/2^n-1)
=1/5{[1(1-1/2^n-2)]/1/2}
=2/5(1-1/2^n-2)
=3/5