Question

已知数列｛an｝中，a1=5/6，且对任意正整数n都有a(n+1)=1/3an+(1/2)^(n+1)

已知数列｛an｝中，a1=5/6，且对任意正整数n都有a(n+1)=1/3an+(1/2)^(n+1)。数列｛bn｝对任意自然数n都有bn=a(n+1)-an/3.
(1)求证：数列｛bn｝是等比数列；（2）求｛an｝的通项公式

Answer 1

(1)bn=a(n+1)-an/3=(1/2)^(n+1)
b(n+1)=a(n+2)-a(n+1)/3=(1/2)^(n+2)
b(n+1)/bn=1/2
等比数列

(2)a(n+1)-3*(1/2)^(n+1)=an/3-2*(1/2)^(n+1)=1/3*(an-3*(1/2)^n)
an-3*(1/2)^n为等比数列
an-3*(1/2)^n=(1/3)^(n-1)
从而an=-2*(1/3)^n+3*(1/2)^n (n>=2)
a1也符合故此即为通项

Answer 2

(1)a(n+1)=1/3an+(1/2)^(n+1)，a(n+1)-1/3an=(1/2)^(n+1)，bn=a(n+1)-an/3.则bn=(1/2)^(n+1)，
b(n-1)=(1/2)^n，bn/b(n-1)=1/2，数列｛bn｝是首项为1/4，公比q=1/2的等比数列。
（2）a(n+1)=an/3+(1/2)^(n+1)，1/3*an=[a(n-1)/3+(1/2)^n]*1/3，┄┄┄(1/3)^(n-1)*a2=[a1/3+(1/2)²](1/3)^(n-1)，上式两边相加得：a(n+1)=(a1/3)(1/3)^(n-1)+(1/2)^(n+1)[1-(2/3)^n](1-2/3)，
a(n+1)=(5/6)(1/3)^n+3(1/2)^(n+1)-(3/2)(1/3)^n=3(1/2)^(n+1)-2(1/3)^(n+1)，
｛an｝的通项公式：an=3(1/2)^n-2(1/3)^n。