高三数学题
已知a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+(1/a))(b+(1/b))≥25/4求不涉及函数思想的解法(即用不等式的知识)...
已知a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+(1/a))(b+(1/b))≥25/4
求不涉及函数思想的解法(即用不等式的知识) 展开
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4个回答
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解答:
先证明一闹亩个不等式:
若 m > 0, n > 0
则 (m - n)² ≥ 0, m² + n² ≥ 2mn
所以灶乱, 当 m = n,m² + n² = 2n², 2mn = 2n²
因此, 当 m = n 时,m² + n² 取得极小值 2mn。
令 m = a + 1/a, n = b + 1/b
所以,当 a + 1/a = b + 1/b 时,(a + 1/a)(b + 1/b)将取得极小值。
因为 a + b = 1
所以 (1 - b) + 1/(1 - b) = b + 1/b
b(1 - b)² + b = b²(1 - b) + (1 - b)
2b³ - b² + 2b - 1 = 0, (2b - 1)(b² + 1) = 0,
所以 b = ½,液辩森 a = ½
所以 (a + 1/a)(b + 1/b) ≥ [½ + 1/(½)][½ + 1/(½)] = (5/2)² = 25/4
因此有:(a + 1/a)(b + 1/b) ≥ 25/4.
先证明一闹亩个不等式:
若 m > 0, n > 0
则 (m - n)² ≥ 0, m² + n² ≥ 2mn
所以灶乱, 当 m = n,m² + n² = 2n², 2mn = 2n²
因此, 当 m = n 时,m² + n² 取得极小值 2mn。
令 m = a + 1/a, n = b + 1/b
所以,当 a + 1/a = b + 1/b 时,(a + 1/a)(b + 1/b)将取得极小值。
因为 a + b = 1
所以 (1 - b) + 1/(1 - b) = b + 1/b
b(1 - b)² + b = b²(1 - b) + (1 - b)
2b³ - b² + 2b - 1 = 0, (2b - 1)(b² + 1) = 0,
所以 b = ½,液辩森 a = ½
所以 (a + 1/a)(b + 1/b) ≥ [½ + 1/(½)][½ + 1/(½)] = (5/2)² = 25/4
因此有:(a + 1/a)(b + 1/b) ≥ 25/4.
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令a=sinx2 b=cosx2
(a+1/a)(b+1/唯培b)=(sinx2+1/sinx2)(cosx2+1/cosx2)
=2sinx2cosx2+ctgx2+tgx2
=2sinx2cosx2+1/sinx2cosx2
=sin2x2/2+4/sin2x2
令sin2x2=y,则0《=y《=1
原式碧液=y/2+4/y
剩下的不会了悔山物,呵呵
(a+1/a)(b+1/唯培b)=(sinx2+1/sinx2)(cosx2+1/cosx2)
=2sinx2cosx2+ctgx2+tgx2
=2sinx2cosx2+1/sinx2cosx2
=sin2x2/2+4/sin2x2
令sin2x2=y,则0《=y《=1
原式碧液=y/2+4/y
剩下的不会了悔山物,呵呵
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把原式展开就得到=AB+1/做乎AB+A/B+B/A:由勾勾函冲胡档数的知识可知,取得最小值时A=B=0.5,所散乱以最小值为1/4+4+1+1=25/4,所以原式恒大于等于25/4
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试试柯西不等式?
柯西不等式:方和积大于积和方
柯西不等式:方和积大于积和方
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