Question

一道高中立体几何问题

D是锐角三角形ABC所在平面外一点，AD垂直平面ABC,AH垂直平面DBC，H为垂足，求证H不可能是三角形BCD的垂心。要详细的证明过程

Answer 1

这个可以运用反正法。
假设H是三角形BCD的垂心，则BH垂直于DC;又因为AH垂直平面DBC。则AH垂直于DC，由此可得，平面ABH垂直于线DC，则AB垂直于DC。已知AD垂直平面ABC，可得AD垂直于AB，若果AB垂直于DC，则面ADC垂直于AB，最后得出AC垂直于AB，这明显与三角形ABC为锐角三角形矛盾，所以原假设不成立，即不可能是三角形BCD的垂心。