Question

已知函数f(x)=Inx,g(x)=a/x(a＞0）设F(x)=f(x)+g(x)

已知函数f(x)=Inx,g(x)=a/x(a＞0）设F(x)=f(x)+g(x).
(1）求函数F(x)的单调区间 (2)若以函数y=F（x)(x属于（0，3】）图像上任意一点P(x0.y0)为切点的切线的斜率k≤1/2恒成立，求实数a的最小值。

Answer 1

解：（1）F(x)=f(x)+g(x)，[x>0,a>0], F（x)的导数为1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
令F（x)的导数>0得x>a,F（x)的导数<0得x<a, 所以
F(x)的递增区为x>a,F(x)的递减区间为0<x<a
(2)由题意得知(x-a)/x^2<=1/2整理得x^2-2x+2a>=0 (x属于（0，3】）
再理得（x-1)^2+2a-1>=0恒成立，而（x-1)^2的最小值为0，则2a-1>=0得a>=1/2