Question

[x]表示不超过x的最大整数，则方程x²-2[x]-3=0的解的个数为

[x]表示不超过x的最大整数，则方程x²-2[x]-3=0的解的个数为

Answer 1

由x²-2[x]-3=0得x²=2[x]+3
因为[x]是整数，所以2[x]+3是整数，所以x²也是整数，所以x是整数
所以原方程只有整数解
所以原题就是求方程x²-2x-3=0整数解的个数
这个方程的解是-1和3，都是整数
所以方程x²-2[x]-3=0的解的个数为2

Answer 2

有2个，分别是3，-1

Answer 3

因为x≥[x],方程变形为
2[x]=x^2-3
2x≥x^2-3
解此不等式得：-1≤x≤3

现将x的取值范围分为5类进行求解
(1）-1≤x<0,则[x]=-1
原方程化为x^2-1=0
x=-1
(2)0≤x<1 则[x]=0
原方程化为x^2-3=0
无解
(3）1≤x<2,则[x]=1
原方程化为x^2-5=0
无解
(4）2≤x<3,则[x]=2
原方程化为x^2-7=0
所以x=√7
(5)x=3显然是原方程的解

综合以上，所以原方程的解为-1,√7,3