Question

一道高中数学的函数题

5．对函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)分别作下列x=g(t)的代换：g(t)=2t（2的t次幂）、g(t)=t2（t的2次方）、g(t)=lgt、
g(t)=sint，其中一定能改变函数f(x)的值域的代换有（ ）种 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

答案是A，是 g(t)=sint
请问g(t)=2t（2的t次幂）、g(t)=t2（t的2次方）为什么不能选？

谢谢！！O(∩_∩)O~

Answer 1

f(x)的值域与x的取值范围相关，由于a≠0所以此函数为抛物线函数，相对某轴（x=?）对称，根据a的正负f(x)有最小（大）值，且趋向于正无穷或负无穷。
改变值域，就是使f(x)的取值范围达不到无穷，或达不到最小（大）值。
对g(t)=2t（2的t次幂），取值范围（0，+无穷），相当于f(x)中的X取值范围为（0，+无穷），如果对称轴为X>0。则f(x)取值范围肯定不变（对称轴上有最小或最大值，大于对称轴的使f(x)趋向于无穷），所以此函数未必使f(x)值域改变。
对g(t)=t2（t的2次方），同样取值范围（0，+无穷），所以此函数未必使f(x)值域改变。
对g(t)=sint，取值范围为[-1,1]，相当于f(x)的X取值范围为[-1,1]，明显使f(x)达不到无穷，所以肯定改变了f(x)的值域。
因此选A。

Answer 2

啊，我是这样想的：
你说的哪两种情况就是说x大于等于0，定义域变了，那当a小于0时且对称轴在x轴正半轴和y轴上时，函数f（x）被你说的那两个替换的话值域就不变了
所以只有g(t)=sint

好像是对的，看你理解了，呵呵

Answer 3

此函数为二次函数，其图像是抛物线，具有对称性。当对称轴在x轴的正半轴的时候，2^t和t^2就不能改变其值域了。

Answer 4

A