Question

数学高手请帮忙

题目：在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线。
求证：AC=AB+BD。
图

Answer 1

证明：
延长AB到点E 使AE=AC 连接ED
∵AE=AC AD=AD
AD平分∠BAC
∴△AED≌△ACD
∴∠E=∠C
∵∠B=∠E+∠BDE ∠E=∠C ∠B=2∠C
∴∠E=∠BDE
∴BD=BE
∵AE=AC=AB+BE
∴AC=AB+BD

Answer 2

过D点作DE线交AC与E点，使∠C=∠CDE
就样就容易证到△ADE全等于△ABD
证明如下：
因为∠C=∠CDE；∠DEA=∠C+∠CDE=2∠C；所以∠DEA=∠B；
又因为∠DAC=∠DAB；所以△ADE与△ABD的三个内角是相等的，
再加上△ADE和△ABD的公共边AD是两个相等角∠B与∠DEA相对的边，所以△ADE与△ABD是全等的

因为△ADE与△ABD全等，所以AE=AB，DE=DB，AC=AE+EC=AB+BD
证毕

Answer 3

延长AB到E，使得AE=AC，连结DE，可得三角形AED≌三角形ACD，所以∠C=∠E，所以∠B=2∠C=2∠E，又因为∠B=∠E+∠EDB，所以=∠E=∠EDB，所以BE=BD，所以AC=AE=AB+BE=AB+BD

Answer 4

在AC上取一点E，使AE=AB
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠CAD=∠DAB
∵AE=AB AD=AD
∴△AED≌△ABD（SAS）
∴∠B=∠AED DE=BD
∵∠B=2∠C ∠AED=∠C+∠EDC
∴2∠C=∠C+∠EDC
∴∠C=∠EDC
∴CE=ED
∴AC=AE+EC=AB+ED=AB+BD