Question

函数f(x)=log1/2(ax^2-2x+4)， 问：若函数在（—∞，3]内为增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=log1/2(ax^2-2x+4) log1/2 x在定义域内是减函数 要想让函数在（—∞，3]内为增函数那么x在（—∞，3]内也必须为减函数 ax^2-2x+4在（—∞，3]内为减函数 那么对称轴2/2a 必需小于等于3 那么就能算出a的范围了

Answer 2

ax^2-2x+4>0

底数1/2<1，f(x)为减函数，随着ax^2-2x+4增大而减小。函数在（—∞，3]内为增函数，则在（—∞，3]内，ax^2-2x+4单调递减。a>0
对称轴x=1/a>=3 a<=1/3
x=3带入9a-6+4>0 a>2/9

a的取值范围为(2/9,1/3]

Answer 3

ax^2-2x+4（对称轴x=2/a）（—∞，3]内为减函数，既有2/a<=3，在△=4-16a<0,得a>=2/3

Answer 4

根据题意分析如下：
1.g(x)=ax^2-2x+4 开口向上，且在[-∞，3]区间大于0；
2.由于log(1/2)x为减函数（底数小于1），所以g(x)在[-∞，3]区间也是减函数；
3.g(x)在[-∞，3]区间不等于0；

下面来解：
①g(x)在实数域恒大于0
△=b^2-4ac=4-16a≤0
解得a≥1/4
且3≤-b/2a=1/a
解得a≤1/3(因为a>0)
所以1/4≤a≤1/3
②g(x)与x轴有两个交点，g(3)≥0
△>0，解得a<1/4
将x=3代入g(x)>0得9a-6+4>0
解得a>2/9
所以2/9<a<1/4

综上，a的取值范围为（2/9,1/3]