Question

已知函数f(x)=log1/2(-ax²+2x+3) 若f(x)在[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)在[2,4]上是增函数
则：y=-ax²+2x+3在[2,4]上是减函数，且y(min)>0，即：y(4)>0；
（1）a=0时，y=2x+3，显然不满足，舍去；
（2）a<0时，y是开口向上，对称轴为x=1/a的抛物线，1/a<0，y在[2,4]上递增，舍去；
（3）a>0时，y是开口向下，对称轴为x=1/a的抛物线，要在[2,4]上递减，则：1/a≧4，
得：0<a≦1/4
y(4)>0，即：-16a+11>0，得：a<11/16
所以，0<a≦1/4
综上，实数a的取值范围是：0<a≦1/4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

且y(min)>0，即：y(4)>0 这是为什么 什么理由？

追答

对数的真数部分要大于0

追问

我发现你有个地方错了 （3）a>0时，y是开口向下，对称轴为x=1/a的抛物线，要在[2,4]上递减，则：1/a≧4 - -这样是递增的。。。

追答

囧~~
（3）a>0时，y是开口向下，对称轴为x=1/a的抛物线，要在[2,4]上递减，则：1/a≦2，
得：a≧1/2
y(4)>0，即：-16a+11>0，得：a0没用到呢。。。不好意思了~~

Answer 2

1/2是底吗？
如果是的话：
首先约定：将以m为底x的对数，记做：log【m】a

解：
f(x)=log【1/2】(-ax²+2x+3)
f(x)=[ln(-ax²+2x+3)]/[ln(1/2)]
f(x)=[ln(-ax²+2x+3)]/(-ln2)
f(x)=(-1/ln2)ln(-ax²+2x+3)
f‘(x)=(-1/ln2)(-2ax+2)/(-ax²+2x+3)
f‘(x)=(2/ln2)(ax-1)/(-ax²+2x+3)
因为：f(x)是增函数，
所以：f'(x)＞0，即：(2/ln2)(a-1)/(-ax²+2x+3)≥0
由对数的定义，知：-ax²+2x+3＞0……………………(1)
所以：ax-1≥0…………………………………………(2)
由(1)得：a＜(2x+3)/x²……………………(3)
由(2)得：a≥1/x……………………………(4)
因为：x∈[2，4]，所以：
由(3)得：a＜11/16
由(4)得：a≥1/2
即：a∈[1/2，11/16)。

Answer 3

整个是増 里面是减 a<0或a>=1/2