Question

2010绍兴市中考数学填空最后一题，求详解！

水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度 （ 指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.

答案是1/2π。 但求详解，最好有平面展开图。谢谢！
若带子宽度为1,水管直径为2,则 的余弦值为？？ .

Answer 1

解：画出其侧面展开图，如上图：

     则：ABCD必为平行四边形，且DC = CF = AB = AG

     根据已知可求得：AC = 2π

    过A作BC的垂线AE，则：AE = 1，且易知：CAE = ABC = a

    故可知：cos a = 1/(2π)

Answer 2

解：画出其侧面展开图，如上图：

则：ABCD必为平行四边形，且DC = CF = AB = AG

根据已知可求得：AC = 2π

过A作BC的垂线AE，则：AE = 1，且易知：CAE = ABC = a

故可知：cos a = 1/(2π)

Answer 3

将管子剖一刀，然后展开。

就变成了求∠ABC的cos。

设cos∠ABC = x。

ac垂直于bd，ef垂直于de应该没问题吧。ef垂直于de主要是因为“使带子全部包住管道且不重叠”。

ab应该是垂直于地面的，否则此题不可能有解。

既然ab垂直于地面，那么ab平行于de，由平行可推出∠ABC = ∠fde。

再加上两个90°角。三角形abc与def是相似的。

有题目可知：ef = 2π，∠ABC = ∠fde。

求cos∠ABC ，也就是求cos∠fde。

tan∠fde = sin∠fde/（cos∠fde）

ab = de =ac/sin∠ABC = 1/sin∠ABC

sin∠ABC = (1-x^2)^0.5

tan∠fde = ef/de = 2π/ab = 2π/(1/(1-x^2)^0.5)

而sin∠fde = sin∠abc = (1-x^2)^0.5,cos∠fde = cos∠abc = x.

带入得：2π/(1/(1-x^2)^0.5) = (1-x^2)^0.5/x

2π*x = (1-x^2)^0.5*(1/(1-x^2)^0.5) = 1

x = 1/(2π)