高中数学 导数
已知函数f(x)=1/2X^2+lnx,当x》1时，求证:1/2X^2+lnx<2/3x^3...
已知函数f(x)=1/2 X^2+lnx ,当x》1时，求证:1/2X^2+lnx < 2/3 x^3
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g(x)=2/3x³-1/2x²-lnx
g'(x)=2x²-x-1/x=(2x³-x²-1)/x=(x-1)(2x²+x+1)/x
2x²+x+1恒大于0
x>1
x-1>0,x>0
所以g'(x)>0,增函数
g(1)=2/3-1/2-0>0
所以x>1
2/3x³-1/2x²-lnx>0
所以1/2x²+lnx<2/3x³
g'(x)=2x²-x-1/x=(2x³-x²-1)/x=(x-1)(2x²+x+1)/x
2x²+x+1恒大于0
x>1
x-1>0,x>0
所以g'(x)>0,增函数
g(1)=2/3-1/2-0>0
所以x>1
2/3x³-1/2x²-lnx>0
所以1/2x²+lnx<2/3x³
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