Question

中国剩余定理

中国剩余定理到底是什么，我要一般结论！别告诉我什么韩信点兵！
最好有例子！

Answer 1

下面是我断断续续写的一些关于中国剩余定理的博文。其中有丰富的例子。供参考。欢迎交流。

以下两篇是我结合一次同余式解法的洪伯阳方法，并利用各个子同余式的对等（对称）性对在最终计算上作出明显改进方案的论述：
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/3411f92d4df9bb38359bf74d.html
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/3341153dd73cc9cb9e3d622d.html

中国剩余定理与拉格朗日插值法的关系，及利用牛顿插值法略作转化的解法，见
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/b285a7896397cdbf0e244478.html

中国剩余定理与插值法的关系的略微专门一点的说明和抛砖引玉性的文字，见
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/c5c77cecc66d6d302697918a.html

外一则：
解一次同余式的洪伯阳方法（及我的引申-分数，比例，同余的性质综合为用)
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/bfb0c64caf81f0f4d72afc81.html

如果仅要了解一点的话，看一下百度百科-孙子定理(中国剩余定理，剩余定理，韩信点兵，鬼谷算)：
http://baike.baidu.com/view/157384.htm?fromenter=%D6%D0%B9%FA%CA%A3%D3%E0%B6%A8%C0%ED
这个词条最近被重新编写过了，原先以“剩余倍分法”为主讲。
后来百度用户“36寸液晶”参照了我的提议(http://zhidao.baidu.com/question/102888604.html)
进行了投诉(投诉贴见http://tousu.baidu.com/baike/view/3007)，删去了有关剩余倍分法的相关内容。不过我建议保留一些争鸣内容的链接，我考虑抽空进行整理，以图对孙子定理及一些相关的观点进行全面的说明。
后来百度用户“36寸液晶”参照了我的提议

(http://zhidao.baidu.com/question/102888604.html)
进行了投诉(投诉贴见http://tousu.baidu.com/baike/view/3007)，删去了有关
剩余倍分法的相关内容。不过我建议保留一些争鸣内容的链接，我考虑抽空进行
整理，以图对孙子定理及一些相关的观点进行全面的说明。

Answer 2

http://baike.baidu.com/view/157384.htm?fromenter=%D6%D0%B9%FA%CA%A3%D3%E0%B6%A8%C0%ED&fr=ala0_1_1

Answer 3

我改良了一个解法，自己觉得比较好算：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
意思为：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。从“除以五余三”可知这个数的个位为3或8，再从除以7余2的数中找出个位为3或8且除以五余三的数。9、16、（23）、30、37、再往后能符合这两个条件的数依次要加上5和7的最小公倍数35。为23、58、93......而23除以7就余得2，符合题意。
再举例为：某个年级的学生，每9 人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，这个年级至少有多少人？
解析：每9 人一排多5人，则人数可能为14、23、（32）、41。。。。由每5人一排多2人可知个位上为2或7，32符合这两个条件。接下来符合条件的数为用32加上5和9的最小公倍数45所得到的数。并从中找出符合每7人一排多1人的数。你可以依次加，再看符不符合。也可以从余数角度来想：32除以7余得4，45除以7余得3，加几个45余数就会增加几个3 。要符合每7人一排多1人，就是余数为1。设32加了N个45，则余数增加N个3，4+3N=7的倍数+1，得到N的最小值为6，也就是最少要加6个45。32+45*6=302（人）所以最少有302人。

又如：一个数除以5余得4，除以8余得3，除以11余得2，为个自然数至少是多少？

解析： 一个数除以5余得4，所以这个数的个位为4或9，除以11余得2，符合这两个条件的最小数字为24，再从24加上11和5的最小公倍数55的系列数中去找符合除以8余得3的数。24、79、134、189、244、299。。。用上面第二种方法也可以，24除以8余得0，55除以5余得7，加上N个55就是余数加上N个7，0+7N=8的倍数+3得到最小的N值为5，也就是要加上5个55，24+55*5=299。也就是这个自然数最小为299。

有些题目存在同余的情况就简单一些，如：一个自然数除以3余得2，除以7余得4，除以8余得5，这个自然数至少是多少？

解析：除以7余得4，除以8余得5。说明除以7差3，除以8也差3，所以符合这两个条件的数是56的倍数少3，53就是最小的符合这两个条件的数。53、109、165、、、再从这个系列数中找符合除以3余得2的数。所以53就是所求的数。