Question

已知,如图E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF。

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形？并证明你的结论。

Answer 1

1)
平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF
∠BAE=∠DCF
AB=CD
所以：△ABE≌△CDF（SAS定理）

2)
：∵AE=CF（已知）且AB‖BC（已知）∴AE‖FC（AE,FC在AB，BC边上）
∴四边形AFCE为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
又∵AD=BC（平行四边形对边相等）且AE=FC（已知）
∴AB-AE=BC-FC，即ED=BF
已知ED,BF在AD和BC上，且AD‖BC（已知）
∴ED‖BF
∴四边形EBFD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
∵四边形AFCE为平行四边形（已证）∴AF‖EC（平行四边形对边平行）
∴GF‖EH（GF,EH在AF，EC边上）
又∵四边形EBFD为平行四边形（已证）∴EB‖DB（平行四边形对边平行）
∴EG‖HF(EG,HF在BE,DF边上）
∴四边形GFCE为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

Answer 2

（1）∵是平行四边形
∴AB=DC ∠A=∠C
且 已知AE=CF
∴△ABE≌△CDF

（2)∵ABE≌△CDF
∴BE=DF 且ED=BF
∴EBFD是平行四边形
又∵M、N分别是BE、DF的中点
∴ME=NF
且ME//NF
∴MFNE是平行四边形

Answer 3

1.证明：∵平行四边形ABCD
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD
∴∠BAE=∠BAD=∠BCD=∠FCD
∵AE=CF
∴△ABE≌△CDF
2.四边形MFNE是平行四边形
证明：∵△ABE≌△CDF
∴BE=FD，∠AEB=∠DFC
∵AD∥BC
∴∠EBC=∠AEB=∠DFC
∴BE∥FD
∵M、N分别是BE、DF的中点
∴ME=1/2BE=1/2FD=FN
∵ME∥FN
∴四边形MFNE是平行四边形

Answer 4

(1),在：△ABE与△CDF中，AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，所以：△ABE≌△CDF（SAS）
（2）MFNF为平行四边形。由△ABE≌△CDF可得DF=BE，等式两边乘2分之1即是EM=NF，再由AD=BC，AE=CF相减得DE=BF，又DE平行BF，所以BEDF为平行四边形，所以EM平行NF。由EM平行且等于NF得出四边形MFNE为平行四边形。