Question

已知函数y=根号下(mx^2-6mx+m+8)的定义域为R求实数m的取值范围

看过答案上的解题步骤。请问为什么m＞0且△＜0呢？如果是这样。那方程不就无解了吗？

Answer 1

首先，这是函数，不是方程

其次，函数y=根号下(mx^2-6mx+m+8)的定义域为R
就要求，mx^2-6mx+m+8恒大于等于0

所以，mx^2-6mx+m+8这个抛物线要开口向上（即m>0)，且图像都在x轴上方（△<0）
这个画图就容易看明白了
抛物线开口向下的话，必有在x轴下方的部分
所以，开口向上。
如果△>0,与x轴有两个交点，则两个交点之间的部分必在x轴下方，不符。
△=0,与x轴有唯一交点，此时x只有唯一值，不符。
△<0，与x轴没有交点，图像又开口向上，才能保证定义域为R

Answer 2

y=根号下(mx^2-6mx+m+8)的定义域为R
则对任意的x∈R
mx^2-6mx+m+8>=0恒成立

显然m=0时8>0
若m不等于0，mx^2-6mx+m+8是二次函数
恒大于所以开口向上,m>0 (如果开口向下肯定会有小于0的值)
且判别式小于等于0 △＜=0（等于0也是可以的，根号0是有意义的）
36m^2-4m(m+8)<=0
32m^2-32m<=0
0≤m≤1
m>0
所以0<m≤1

综上
0≤m≤1
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就是要让mx^2-6mx+m+8=0无解，你可以画图看看，如果有解的话，肯定有一部分在x轴下面，定义域就不是R了