Question

已知函数y=根号下mx²-6mx+m+8的定义域为R，求实数m的取值范围

Answer 1

∵y＝√（mx^2－6mx＋m＋8）的定义域为R，∴mx^2－6mx＋m＋8≧0。
令f（x）＝mx^2－6mx＋m＋8。
一、当m＝0时，f（x）＝8＞0。此时x自然可取任意实数。∴m＝0是满足题意的。
二、当m＜0时，f（x）＝mx^2－6mx＋m＋8是一条开口向下的抛物线，无论m取任何实数，都不
　　能确保f（x）≧0恒成立。
　　∴应舍去这种情况。
三、当m＞0时，f（x）＝mx^2－6mx＋m＋8是一条开口向上的抛物线，要确保f（x）≧0，就需要
　　方程mx^2－6mx＋m＋8＝0的判别式≦0。
　　∴（－6m）^2－4m（m＋8）≦0，∴9m^2－m^2－8m≦0，∴m（m－1）≦0，
　　∴0＜m≦1。
综上一、二、三所述，得：满足条件的m的取值范围是［0，1］。