Question

已知函数y=根号下mx^2-6mx+m+8定义域是R，求实数m的取值范围。

我不懂的是为什么当m≠0时，有m＞0，△=（-6m)^2-4m(m+8)≤0，为什么不是m＜0，△大于0？谢谢了。

Answer 1

要使函数y＝√（mx^2－6mx＋m＋8）的定义域为R，则需要mx^2－6mx＋m＋8≧0。
一、当m＝0时，mx^2－6mx＋m＋8≧0显然是成立的。∴此时x∈R。
二、当m＜0时，f（x）＝mx^2－6mx＋m＋8的图象是一条开口向下的抛物线，这样一来，无论
　　m取什么数值，都不能使图象全在x轴或x轴的上方，即不能使f（x）≧0成立，∴应舍去。
三、当m＞0时，f（x）＝mx^2－6mx＋m＋8的图象是一条开口向上的抛物线，这样一来，只要
　　方程mx^2－6mx＋m＋8＝0的判别式≦0，就能使图象与x轴相切或相离，即能确保f（x）≧0
　　成立。
　　由判别式＝（－6m）^2－4m（m＋8）≦0，结合m＞0，得：9m－m－8≦0，∴m≦1。
综上所述，得：满足条件的m的取值范围是［0，1］。

Answer 2

y=根号下（mx^2-6mx+m+8）的定义域为R
根据根号的性质有
mx^2-6mx+m+8≥0
若m=0,成立
若m<0不成立，抛物线开口向下，故不成立
若m>0不成立，抛物线开口向上，只需要判别式小于等于0就可以了
故
△＝（-6m)^2-4m(m+8)≤0
整理得
9m^2-m^2-8m≤0
m^2-m≤0
0≤m≤1
故实数m的取值范围0≤m≤1