Question

请教一道高中数学题

过点P（4，8）作圆x^2+y^2-2x-4y-20=0的割线，所得弦长为8，求此割线所在的直线方程！
请写出解题过程最好有图，好的再加分！

Answer 1

已知圆可变为（x-1）^2+（y-2）^2=25
所以圆心Q（1，2），圆半径r=5
因为弦长的一半为8/2=4，运用勾股定理可求出弦心距为
d=√(r^2-4^2)=√(5^2-4^2)=3
它表示圆心Q到割线的距离为3。
(1)如果割线的斜率存在，设其的斜率为k，则直线方程可写为k=(y-8)/(x-4)，整理得
kx-y+8-4k=0
依圆心Q（1，2）到割线的距离为3列等式，运用点到直线的距离公式：
|k-2-4k+8|/√(1+k^2)=3
两边平方，解方程得k=3/4
所以割线的方程为3x/4-y+8-3=0即
3x-4y+20=0
(2)如果割线的斜率不存在，即割线的方程为x=4，经验算，圆心到它的距离也是3。

综上所述，割线所在直线的方程为
3x-4y+20=0或 x=4

Answer 2

按照我的思路去做吧：
设直线方程是ax+by+c=0
满足两个条件：
1、为保证弦长是8，直线到圆心（1，2）的距离必须是个定数3,(圆半径是5）
2、直线经过（4，8）
正好可以确定这个直线方程。

Answer 3

设此割线所在的直线方程为y=kx+b

代入P（4，8）
8=4k+b
b=8-4k
即y=kx+8-4k

圆x^2+y^2-2x-4y-20=0
（x-1）^2+(y-2)^2=25
即以（1、2)为圆心，5为半径的圆

所得弦长为8
所以，圆心（1、2)到直线的距离:√[5^2-(8/2)^2]=3
|1*k+8-4k-2|/√(k^2+1)=3
|7-3k|=3√(k^2+1)
(7-3k)^2=9(k^2+1)
49-42k+9k^2=9k^2+18k+9
60k=40
k=2/3

另，x=4也符合

所以，y=2x/3+8-4*2/3=2x/3+16/3 或 x=4