Question

高中函数

函数f(x)=(x²-3x+3)e^x，x∈[-2，t]，t＞-2.对于任意t＞-2，当x。∈[-2,t]，有f'(x。)/e^x。=（2/3)*(t-1)²，试确定x。的个数

Answer 1

因为f′(x0)ex0＝x20－x0，所以f′(x0)ex0＝23(t－1)2即为x20－x0＝23(t－1)2，
令g(x)＝x2－x－23(t－1)2，从而问题转化为证明方程g(x)＝x2－x－23(t－1)2＝0
在(－2，t)上有解，并讨论解的个数
因为g(－2)＝6－23(t－1)2＝－23(t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－23(t－1)2＝13(t＋2)(t－1)，所以①当t>4或－2<t<1时，g(－2)•g(t)<0，所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且只有一解；
②当1<t<4时，g(－2)>0且g(t)>0，但由于g(0)＝－23(t－1)2<0，
所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且有两解；③当t＝1时，g(x)＝x2－x＝0⇒x＝0或x＝1，所以g(x)＝0在(－2，t)上有且只有一解；
当t＝4时，g(x)＝x2－x－6＝0⇒x＝－2或x＝3，
所以g(x)＝0在(－2,4)上也有且只有一解.综上所述，对于任意的t>－2，总存在x0∈(－2，t)，满足f′(x0)ex0＝23(t－1)2，
且当t≥4或－2<t≤1时，有唯一的x0适合题意；当1<t<4时，有两个x0适合题意.分

Answer 2

f'(x)=(2x-3)e^x+(x²-3x+3)e^x=(x²-x)e^x
f'(x。)/e^x。=x。²-x。=（2/3)*(t-1)²，
由t>-2得(t-1)²≥0，即（2/3)*(t-1)²≥0
∴x。²-x。+1/4=（2/3)*(t-1)²+1/4≥1/4
(x。-1/2)²=（2/3)*(t-1)²+1/4≥1/4
∴x。有两个解
∴x。的个数为2