Question

几个高等数学小问题

1.设y=f(u),Df=(0,1),求f(sin 2x)的定义域。
2.证明：若y=f(x)是奇函数，且0∈Df,则f(0)=0.
3.y=sin x+1/2sin 2x+1/3sin 3x的基本周期。
4.y=sin 1/x+arcsin x在定义域内是否有界.
5.设函数y=f(x)的图形由方程x2+y2=1及x2-4x+y=0(变量后的系数是平方)在上半平面（y>=0）的图形所构成，试写出f(x)的解析表达式.
6.在半径为R的球内，内接一圆锥体，设圆锥体的低半径为r,高为h,试建立圆锥体体积v与高h之间的函数关系式，v与底半径之间的函数之间的关系式，并写出定义域。

麻烦啦，都写出详细过程哈，题有点多，不好意思，小弟只有把所有悬赏分都给出来了哈，分才用完，不多了，谢谢各位高手啦。

Answer 1

1. 依题意，0<sin 2x<1,即sin 2x既不等于0也不等于1.=> 2x既不等于2kπ也不等于2kπ+π/2. 即x既不等于kπ也不等于kπ+π/4.
2. 奇函数有f(-x)=-f(x)，又0∈Df,有f(-0)=-f(0).则f(0)=0.
3. 基本周期?什么意思？
sin x的周期2kπ，sin 2x的周期kπ，sin 3x的周期2kπ/3；
则y的周期为2kπ。 基本周期基本周期2π。
4. arcsin x的定义域[-1,1], sin 1/x属于[-1,1], arcsin x属于[-π/2,π/2],
故y有界。
5. 在上半平面(y>=0)，半圆y=(1-x^2)^(1/2)定义域[-1,1], 抛物线y=4x-x^2定义域[0,4], 则y=f(x)的定义域为[0,1]. 交点(x0,y0), 0<x0<1,且满足x^2(x^2-8x+17)=1.
解析式 y=f(x)=(1-x^2)^(1/2),当[0,x0]；
y=f(x)=4x-x^2，当[x0,1].
6. 圆锥体体积v=πhr^2/3.
由球内接圆锥体，则底半径所对的圆周角的正切值为 r/h=(2R-h)/r.
==> r=[h(2R-h)]^(1/2), 0<h<2R. 或 h=R{+或-}(R^2-r^2)^(1/2), 0<r<R.
故
圆锥体体积v与高h之间的函数关系式, v=πh^2(2R-h)/3, 0<h<2R.
v与底半径之间的函数之间的关系式，v=πr^2[R{+或-}(R^2-r^2)^(1/2)]/3, 0<r<R.