Question

关于高中函数单调性的题目。

已知f(x)=根号x^2-1.试判断f(X)在(1,正无穷大）上的单调性。并证明。

请各位帮帮我啊！！！并且附上解答过程！！谢谢！！！

Answer 1

汗 先看定义域，题中已经给定了：x>1
则取x1>x2>1 X1，X2为任意实数
因为：x1>x2>0
所以：x1^2>x2^2,再由x1,x2>1
所以: x1^2-1>x2^2-1>0
所以：sqrt(x1^2-1)>sqrt(x2^2-1)
从而得到结论：（1，正无穷）上
如果X1>X2 则f(x1)>f(x2)
也就是f(x)在该区间单调递增··

这是判断函数单调的基本方法，定义域内取x1>x2,再比较f(x1),f(x2),如果比较不清楚，将定义域分成若干小段再作比较。

Answer 2

方法一：导数法

对f 求导，得到f'=x/√(x^2-1)

当x>1 时候，x^2-1>0

所以f'>0
所以f(X)在(1,正无穷大）上的单调递增

方法二：定义法

x1>x2>1
f(x2)-f(x1)
=√(x2^2-1)-√(x1^2-1)
=(√(x2^2-1)+√(x1^2-1))/(√(x2^2-1)-√(x1^2-1))*(√(x2^2-1)+√(x1^2-1))
=(√(x2^2-1)+√(x1^2-1))/（x2^2-x1^2）>0

同理也可以证明是增函数

Answer 3

求导，得到f(x)'=x/√(x^2-1)

当x>1 时候，x^2-1>0

所以f(x)'>0
所以f(X)在(1,正无穷大）上的单调递增

Answer 4

单调增函数，对函数求导，由定义域可知导数大于零